MA.2.1 连续函数

连续

$f : U (x_{0}) \to R, lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$

极限=函数值
- 此时 $x_{0}$ 为连续点。若不连续：间断点
- 不用去心哦！
连续是局部性质
- 某一点的连续！连续是逐点定义的！
三要素
- $f (x_{0})$ 存在
- $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 存在
- 两者相等
#连续的epsilon-delta表述^7da1c3
- $f (x) 在 x_{0} 连续 \Leftrightarrow \forall ε > 0, \exists δ > 0,$ $当 | x - x_{0} | < δ 时, | f (x) - f (x_{0}) | < ε$
- 不用去心！绝对值不需要大于0
#连续的增量表述
- $f (x) 在 x_{0} 连续 \Leftrightarrow lim_{Δ x \to 0} | Δ f | \to 0$
- 增量： $Δ x = x - x_{0}, Δ f = f (x) - f (x_{0}) = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$
#连续的几何意义
- $f (x) 在 x_{0} 连续 \Leftrightarrow 图形在 x_{0} 不断开$

若 f (x) 在 x_{0} 连 续, y = | f (x) | 也 在 x_{0} 连 续, 反 之 不 成 立

$\begin{aligned} | Δ y | & = | | f (x_{0} + Δ x) | - | f (x_{0}) | | \\ \leq | f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0}) | \\ = | Δ f | \to 0 (x \to x_{0}) \end{aligned}$
反例易得（1/-1）

#单侧连续

$f (x_{0} \pm 0) = f (x_{0})$ ：左/右连续

#单侧连续与 #某点连续

$f (x) 在 x_{0} 连续 \Leftrightarrow f (x) 既左连续又又连续, 即$

lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = f (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)

用于判断分段函数在分断点处的连续性

#函数连续

$若 f (x) 在区间 I 中每点连续, 则称 f 在 I 上连续$

在 $I$ 的闭端点仅需单侧连续，记为 $f \in C (I)$
- 不一定有定义 $\to$ 单侧
等式 $f (x_{0} + 0) = f (x_{0} - 0) = f (x_{0})$ 不成立的情形
1. $f (x_{0} + 0) = f (x_{0} - 0) \neq f (x_{0})$
  - $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ 必存在， $f (x_{0})$ 可不存在或不等于极限（掏空/移动 $x_{0}$ ）
  - 此时称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的 #可去间断点^c2c101
  - Eg. $x = 0 是 f (x) = \frac{\sin x}{x} 的可去间断点$
  - 补充或改变 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的值，可让其变为新函数的连续点
2. $f (x_{0} + 0) \neq f (x_{0} - 0) = f (x_{0})$
  - 此时称 $x_{0}$ 为 $f (x)$ 的 #跳跃间断点
  - Eg. $x = 0 是 f (x) = \frac{| x |}{x} 的跳跃间断点$
  - 此时左右极限不同，几何上跳跃，与 $f (x)$ 在 $x_{0}$ 的定义无关
3. $f$ 左右极限至少一个不存在
间断点
- 第一类间断点
  - #可去间断点
  - #跳跃间断点
- 第二类间断点
  - 极限不存在
- $f (x)$ 在定义闭区间的端点只有 #可去间断点（单侧极限存在但不等于函数值）和第二类间断点（单侧极限不存在）

证明Dirichlet函数在每一点都是第二类间断

连续函数的运算

Theorem

四则运算
略

复合运算
$若 u = g (x) 在 x_{0} 连续, 且 u_{0} = g (x_{0}), 而 f (u) 在 u_{0} 连续, 则 f (g (x)) 在 x_{0} 连续$
简证： 变量代换： $u = g (x)$

#连续函数极限的穿越

$若 f (x)$ $连续$ $, 则 lim 和 f 可交换位置$

Theorem

反函数连续性
- 严格单调+连续=>反函数连续
基本初等函数在定义域连续
- 基本初等函数的反函数连续
初等函数在定义区间内连续